Bài báo thiết lập điều kiện cần và đủ cho cận sai số phi tuyến của hàm thực suy rộng trong không gian mêtric và Asplund. Các điều kiện được trình bày dưới dạng độ dốc và dưới vi phân Fréchet riêng phần thông qua các kỹ thuật của giải tích biến phân hiện đại. Các kết quả được vận dụng để nghiên cứu cho tính chính quy mêtric phi tuyến của ánh xạ đa trị.